Kas yra fraktalas? Fraktalas gamtoje

Dažnai moksliniai tyrinėjimai gali radikaliai pakeisti mūsų gyvenimus. Pvz., Vakcinos išradimas gali sutaupyti daug žmonių, o naujų ginklų sukūrimas veda į žmogžudystę. Žodžiai vakar (istorijos masto) žmogus "privertė" elektrą ir šiandien be jo negali įsivaizduoti savo gyvenimo. Tačiau yra ir tokių atradimų, kurie, pasak jų, lieka šešėliuose ir nepaisant to, kad jie taip pat daro įtaką mūsų gyvenimams. Vienas iš tokių atradimų buvo fraktalas. Dauguma žmonių net nežinojo apie šią sąvoką ir negalės paaiškinti jos prasmės. Šiame straipsnyje mes pabandysime suprasti, kas yra fraktalas, apsvarstyti šio termino reikšmę iš mokslo ir gamtos padėties.

Užsakyti Chaose

Norint suvokti, kas yra fraktalas, mes turėtume pradėti analizuoti skrydžius iš matematikos pozicijos, bet prieš pradėdami ieškoti tikslių mokslų, mes šiek tiek filosofiniai. Kiekvienas žmogus turi natūralų smalsumą, per kurį jis žino aplink jį esantį pasaulį. Dažnai, ieškodamas žinių, jis bando elgtis su logika savo sprendimuose. Taigi, analizuojant aplinkinius procesus, jis bando apskaičiuoti santykius ir atsirasti tam tikrų dėsningumų. Didžiausi planetos protai sprendžia šias problemas. Apytikriai kalbant, mūsų mokslininkai ieško modelių, kurių jie neegzistuoja ir neturėtų būti. Tačiau net chaosas yra ryšys tarp šių ar tų įvykių. Tai yra fraktalio nuoroda. Pavyzdžiui, apsvarstykite skaldytą šaką, esančią kelyje. Jei atidžiai pažvelgsi į tai, pamatysime, kad tai yra kaip medis su visais savo šakais ir mazgeliais. Čia šis atskiros dalies vientisumas panašus į vieną visumą liudija vadinamąjį rekursyvaus savaiminio panašumo principą. Fraktalus gamtoje galima rasti labai dažnai, nes daugelis neorganinių ir organinių formų yra suformuotos panašiai. Tai yra debesys, jūrų kriauklės ir sraigių korpusai, medžių karūnos ir netgi kraujotakos sistema. Šis sąrašas gali būti tęsiamas neribotą laiką. Visos šios atsitiktinės formos lengvai aprašo fraktalo algoritmą. Čia mes atėjome apsvarstyti, koks fraktalas yra iš tiksliųjų mokslų pozicijos.

Keletas sausų faktų

Lotyniškame žodyje fraktalas verčiamas kaip "dalinis", "suskirstytas", "suskaidytas", o šio termino turiniui - formuluotė nėra tokia. Paprastai tai laikoma savitiliu komplektu, dalimi visumos, kuri pakartojama pagal jos struktūrą mikro lygmenyje. Šis terminas buvo išrastas XX a. Septintojo dešimtmečio Benoit Mandelbrot, kuris yra pripažintas fraktalinės geometrijos tėvu . Šiandien fraktalo samprata reiškia grafinę struktūros vaizdą, kuris, kaip ir padidėjęs mastas, bus panašus į save. Tačiau šios teorijos kūrimo matematinis pagrindas buvo nustatytas dar prieš pat Mandelbrot gimimą, tačiau jis negalėjo vystytis, kol pasirodė elektroniniai kompiuteriai.

Istorinė nuoroda, ar kaip viskas prasidėjo

XIX ir XX a. Pabaigoje fraktalų pobūdis buvo epizodinis. Taip yra dėl to, kad matematikai pageidavo mokytis objektų, kurie gali būti tiriami remiantis bendromis teorijomis ir metodais. 1872 m. Vokiečių matematikas K. Weierstrassas sukūrė nepertraukiamos funkcijos pavyzdį, kuris niekur nesiskirtų. Tačiau ši konstrukcija pasirodė visiškai abstrakta ir sunkiai suvokiama. Kitas atėjo švedas Helge von Kochas, kuris 1904 m. Pastatė nuolatinę kreivę, kurioje niekur nėra tangento. Gana gana lengva piešti, o kaip paaiškėjo, jis pasižymi fraktalinėmis savybėmis. Vienas iš šios kreivės variantų buvo pavadintas jo autoriaus garbei - "snaigė Koč". Be to, idėją apie figūrų savimoniškumą sukūrė būsimas instruktorius B. Mandelbrot, pranc. Paul Levy. 1938 m. Jis paskelbė straipsnį "Plokščios ir erdvinės kreivės ir paviršiai, sudaryti iš dalių, kaip visumos". Jame jis apibūdino naują rūšį - Levy C-kreivę. Visi aukščiau pateikti skaičiai yra sąlygiškai susiję su forma, kaip geometriniai fraktalai.

Dinaminiai ar algebriniai fraktalai

Ši klasė apima Mandelbro rinkinį. Pirmieji šios krypties tyrėjai buvo prancūzų matematikai Pierre Fatou ir Gaston Julia. 1918 m. Julija paskelbė apie racionalių kompleksinių funkcijų kartojimo tyrimą. Čia jis apibūdino fraktalų šeimą, glaudžiai susijusią su Mandelbrot rinkiniu. Nepaisant to, kad šis darbas pagyrė autorių tarp matematikų, jis greitai buvo pamirštas. Ir tik pusę amžiaus, kompiuterių dėka Džulija gavo antrą gyvenimą. Kompiuteriai leido kiekvienam asmeniui matyti tą grožį ir turtingumą fraktalų pasaulyje, kurie "matytų" matematikus, rodydami juos per funkcijas. Mandelbrot buvo pirmasis, kuris naudojo kompiuterį atlikti skaičiavimus (tokio dydžio negalima atlikti rankiniu būdu), kuris leido pastatyti šių figūrų vaizdą.

Žmogus su erdvine vaizduote

Mandelbrot pradėjo savo mokslinę karjerą IBM tyrimų centre. Išnagrinėjus duomenų perdavimo galimybes dideliais atstumais, mokslininkai susidūrė su dideliais nuostoliais, atsiradusiais dėl trikdžių triukšmo. Benoitas ieško būdų, kaip išspręsti šią problemą. Žvelgiant į matavimų rezultatus, jis atkreipė dėmesį į keistą modelį, ty: triukšmo grafikai atrodė vienodi skirtingose laiko juostose. Panaši nuotrauka buvo pastebėta ir vienai dienai, ir septynioms dienoms ar valandai. Pati Benois Mandelbrot dažnai sakė, kad jis neveikia su formulėmis, bet vaidina su nuotraukomis. Šis mokslininkas išsiskyrė į figūrinį mąstymą, jis bet kurią algebinę problemą išvertė geometrinėje srityje, kur teisingas atsakymas yra akivaizdus. Taigi nenuostabu, kad toks žmogus, turtingas erdvinio mąstymo, tapo fraktalinės geometrijos tėvu. Galų gale, šio skaičiaus suvokimas gali atsirasti tik tada, kai jūs išmoksite piešinius ir apmąstykite šių neįprastų posūkių, kurios sudaro modelį, prasmę. Fraktaliniai modeliai neturi identiškų elementų, tačiau jie yra panašūs bet kokiu mastu.

Julija - Mandelbrot

Vienas iš pirmųjų šios figūros brėžinių buvo grafinio komplekto aiškinimas, kuris gimė dėka Gastono Julijos kūrinių ir kurį pakeitė Mandelbrotas. Gastonas bandė įsivaizduoti, kaip atrodo rinkinys, pagrįstas paprasta formule, kurią praranda grįžtamojo ryšio grandinė. Pabandykime paaiškinti, kas buvo kalbama, kalbant apie žmones, ant jūsų pirštų. Dėl tam tikros skaitmeninės vertės mes naudojame formulę, norėdami rasti naują vertę. Pakeiskime jį į formulę ir suraskime tokią informaciją. Rezultatas yra didelė skaitinė seka. Tokio rinkinio atstovavimas reikalauja atlikti šią operaciją daugybe kartų: šimtus, tūkstančius, milijonus. Tai padarė Benoitas. Jis apdorojo seką ir perkelia rezultatus į grafinę formą. Vėliau jis parašė gautą figūrą (kiekviena spalva atitinka tam tikrą kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartotinių kartų kartotinių kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų kartotinių kartų. Šis grafinis vaizdas buvo pavadintas "Mandelbrot Fractal".

L. Carpenter: gamta sukurta dailė

Fraktalų teorija greitai nustatė praktinį taikymą. Kadangi tai yra labai glaudžiai susijusi su savaiminio panašumo vaizdų vizualizavimu, pirmieji, kurie priima šių neįprastų formų kūrimo principus ir algoritmus, yra menininkai. Pirmas iš jų buvo būsimasis "Pixar" studijos "Lauren Carpenter" steigėjas. Dirbdamas su orlaivių prototipų pristatymu, jam reikėjo naudoti kalnų vaizdą kaip foną. Šiandien beveik kiekvienas kompiuterio vartotojas gali tvarkyti šią užduotį, o praėjusio šimtmečio septintojo dešimtmečio kompiuteriai negalėjo atlikti tokių procesų, nes tuo metu nebuvo jokių grafikos redaktorių ir 3D grafikos programų. Ir taip Lorenas sugavo Mandelbroto knygą "Fraktalas: forma, nelaimingas atsitikimas ir matmuo". Jame Benoitas pateikė daug pavyzdžių, rodančių, kad gamtoje yra fraktalų (fyva), jis apibūdino jų įvairaus formą ir teigė, kad juos lengvai apibūdina matematinės išraiškos. Matematikas paminėjo šią analogiją kaip teorijos naudą, kurią jis sukūrė atsakydamas į jo kolegų kritiką. Jie teigė, kad fraktalas - tai tik gražus, neturintis vertės, kuris yra elektroninių mašinų darbo šalutinis produktas. Carpenter nusprendė praktiškai išbandyti šį metodą. Atidžiai ištyrus knygą, būsimoji animatorė pradėjo ieškoti būdų, kaip įgyvendinti fraktalinę geometriją kompiuterine grafika. Jis paėmė tik tris dienas vizualizuoti labai realistišką kalno peizažo įvaizdį savo kompiuteryje. Ir šiandien šis principas plačiai naudojamas. Kaip paaiškėjo, fraktalų kūrimas nereikalauja daug laiko ir pastangų.

Carpenter's solution

Laureno naudojamas principas buvo paprastas. Tai susideda iš didesnių geometrinių figūrų padalijimo į mažesnius elementus, o į mažesnius vienodo dydžio elementus ir pan. Dailidė, naudodama didelius trikampius, susmulkino juos į 4 mažus ir tt, kol jis sukūrė realistinį kalnų kraštovaizdį. Taigi jis tapo pirmuoju menininku, kuris pritaikė fraktalo algoritmą kompiuterinėje grafikoje, kad sukurtumėte reikalingą vaizdą. Šiandien šis principas naudojamas įvairių realistinių natūralių formų imitavimui.

Pirmoji 3D-vizualizacija fraktalo algoritme

Po kelerių metų Laurenas savo darbą panaudojo didelio masto projekte - animaciniame klipu "Vol Libre", kuris 1980 metais buvo parodytas "Siggraph". Šis vaizdo įrašas sukrėtė daugelį, o jo kūrėjas buvo pakviestas dirbti "Lucasfilm". Čia animatorius sugebėjo kuo plačiau suprasti, jis sukūrė trimačius kraštovaizdžius (visą planetą) viso ilgio kino "Star Trek". Bet kuri šiuolaikinė programa ("Fractals") arba trimačių grafikos kūrimo programa (Terragen, Vue, Bryce) naudoja tą patį tekstūrų ir paviršių modeliavimo algoritmą.

Tom Beddard

Anksčiau lazdurizmas fizikas, dabar skaitmeninis meistras ir menininkas, Beddard sukūrė labai intriguojančių geometrinių figūrų seriją, kurią jis pavadino Faberės fraktalais. Iš išorės jie panašūs į dekoratyvinius rusiško juvelyro kiaušinius su tuo pačiu blizgančiu sudėtingu rašalu. "Beddard" naudojo šabloninį metodą savo skaitmeninių modelių vizualizavimui kurti. Gauti produktai stebina grožį. Nors daugelis nenori palyginti rankų darbo su kompiuterine programa, reikia pripažinti, kad gautos formos yra neįprastai gražios. Svarbu pabrėžti, kad kiekvienas gali kurti tokį fraktalą naudodamas "WebGL" programinės įrangos biblioteką. Tai leidžia realiu laiku ištirti skirtingas fraktalines struktūras.

Fraktalas gamtoje

Nedaugelis žmonių atkreipia dėmesį, bet šie nuostabūs skaičiai yra visur. Gamta yra sukurta iš savarankiškų figūrų, mes tiesiog to nepastebi. Pakanka pažiūrėti į mūsų odos ar medžio lapo padidinamąjį stiklą, ir mes pamatysime fraktalius. Pavyzdžiui, paimkite ananasą ar net piokio uodegą, nes jie susideda iš panašių figūrų. Brokolių brokolių Romanescu įvairovė paprastai stebina savo išvaizdą, nes tai tikrai gali būti vadinamas gamtos stebuklu.

Muzikinė pauzė

Pasirodo, fraktalai yra ne tik geometriniai skaičiai, jie gali būti garsai. Taigi, muzikantas Jonathanas Colton rašo muziką naudojant fraktalinius algoritmus. Jis tvirtina, kad tokia melodija atitinka natūralią harmoniją. Kompozitorius skelbia visus savo kūrinius pagal CreativeCommons "Attribution-Noncommercial" licenciją, kuri numato kitų asmenų nemokamą platinimą, kopijavimą, perkėlimą.

Rodiklis-fraktas

Ši technika atrado labai netikėtą programą. Tuo remiantis buvo sukurta vertybinių popierių rinkos analizės priemonė, todėl ji buvo naudojama Forex rinkoje. Dabar rodiklio fraktas yra visose prekybos platformose ir naudojamas prekybos įrangoje, vadinamo kainų pertrauka. Sukūrė šią techniką Bill Williams. Autorius komentuoja savo išradimą, šis algoritmas yra keletas "žvakių" derinys, kuriame centrinė atspindi maksimalų arba, atvirkščiai, minimalų kraštutinį tašką.

Baigiamajame darbe

Taigi, mes pažvelgėme, kas yra fraktalas. Pasirodo, kad chaosas, kuris mus supa, iš tiesų yra idealių formų. Gamta yra geriausias architektas, idealus statytojas ir inžinierius. Tai yra išdėstyta labai logiška, o jei mes negalime rasti įstatymo, tai nereiškia, kad jo nėra. Galbūt jums reikia ieškoti kitokio masto. Mes galime pasakyti, kad fraktaluose yra daugiau paslapčių, kurias dar turime atrasti.