Skirtumai - kas tai? Kaip rasti funkcijos diferencialą?

Kartu su išvestinių priemonių jų funkcijos skirtumai - Tai keletas pagrindinių sąvokų iš diferencinės, pagrindiniame skyriuje matematinės analizės. Kaip neatskiriamai susiję, abu kelis šimtmečius plačiai naudojami sprendžiant beveik visas problemas, kurios iškilo dėl mokslinio ir techninio veiklą.

Iš Diferencialinė koncepcijos atsiradimas

Pirmą kartą aiškiai parodė, kad tokį skirtumą, vienas iš steigėjų (kartu su Isaakom Nyutonom) diferencinės garsaus vokiečių matematiko Gotfrid Vilgelm Leybnits. Prieš tai matematikai 17 a. naudojamas labai neaiški ir miglota idėja apie tam tikrų begalybės "nesuskirstytą" bet žinoma funkcija, ty labai mažą pastovią vertę, bet nėra lygus nuliui, žemiau kurio vertybės funkcija gali būti ne tik. Taigi jis buvo tik vienas žingsnis į sampratų infinitezimalinių žingsniais funkcinių argumentai ir jų atitinkamų žingsniais iš funkcijų, kad gali būti išreikšta išvestinių pastaroji įvedimo. Ir šis žingsnis buvo priimtas beveik vienu metu virš dviejų didžių mokslininkų.

Grindžiamas būtinybe spręsti skubias praktines mechanikos problemas, su kuriomis susiduria mokslas sparčiai vystosi pramonė ir technologijų, Niutonas ir Leibnicas sukūrė bendrus būdus rasti iš pokyčių norma funkcijas (ypač atsižvelgiant į mechaninio greičio žinomo trajektorija kūno), kuri atvedė prie tokių sąvokų įvedimo, kaip išvestinės funkcija ir skirtumo, taip pat nustatė, kad algoritmas Grįžtamasis užduotis sprendimai kaip žinomu (kintamojo) greičiu kerta rasti kelią, kuris atvedė į neatsiejama koncepcija Ala.

Per Leibnicas Newton idėja darbų pradžių pasirodė, kad skirtumai - yra proporcingas pagrindinių argumentų prieaugio Δh žingsniais Δu funkcijas, kurios gali būti sėkmingai taikomi apskaičiuojant pastarosios vertę. Kitaip tariant, jie atrado, kad prieaugis funkcija gali būti bet kuriuo metu (per jos sritimi apibrėžimai), yra išreiškiamas per savo išvestinės tiek Δu = y "(x) Δh + αΔh, kur α Δh - likusios, linkę iki nulio, kaip Δh → 0, daug greičiau nei faktinis Δh.

Pagal matematinę analizę steigėjų, skirtumai - tai yra būtent tai pirmasis terminas padalomis jokių funkcijų. Net jeigu jis neturi aiškiai apibrėžta riba sąvoka sekos yra suprantama intuityviai, kad skirtumas vertė su dariniu, yra linkęs veikti, kai Δh → 0 - Δu / Δh → y "(x).

Skirtingai nei Niutonas, kuris pirmiausia buvo fizikas ir matematinis aparatas laikomas pagalbiniu įrankiu fizinių problemų tyrimo, Leibnicas daugiau dėmesio į šį priemonių rinkinį, įskaitant vaizdo ir suprantamais simboliais matematiniai vertybių sistema. Jis buvo tas, kuris pasiūlė standartinį žymėjimą skirtumai funkcija dy = y "(x) dx, dx, ir argumentų funkcijos, kaip jų santykiai y darinys" (x) = dy / dx.

Modernus apibrėžimas

Kas yra kalbant apie šiuolaikinės matematikos skirtumas? Jis glaudžiai susijęs su kintamu prieaugio koncepciją. Jei kintamasis Y užima pirmąją vertę Y Y = _1, tada Y = y _2, skirtumas Y ₂ ─ _Y1 yra vadinamas prieaugis vertė m. Prieaugis gali būti teigiamas. neigiamas ir lygus nuliui. Žodis "prieaugis" priskiriamas trikampio, Δu įrašymas (skaityti "delta Y") žymi, kad prieaugio Y reikšmė. taip Δu = Y ₂ ─ Y _1.

Jei reikšmė Δu savavališkai funkcija y = f (x) gali būti atstovaujama kaip Δu = A Δh + alfa, kur A yra ne priklausomybė nuo Δh, t. E. A = const pagal nurodytą x, ir terminas α, kai Δh → 0 linkęs tai net greičiau, nei faktinio Δh, tada pirmasis ( "master") terminas proporcingas Δh ir yra y = f (x) diferencialo, žymimas DY arba DF (X) (skaityti "Y de", "de EŽF iš X"). Todėl skirtumai - yra "Pagrindinė" linijinis atsižvelgiant į stadijų Δh funkcijų komponentų.

mechaninis paaiškinimas

Leisti s = f (t) - pozicija tiesia linija judėjimo atstumo medžiaga tašką (- kelionės laiką t), iš pradinę padėtį. Prieaugis Δs - yra būdas punktas per laiko intervalą Δt, ir diferencialinės DS = f '(t) Δt - šis kelias, kuris punktas vyks tuo pačiu laiku, Δt, jei jis lieka greičio F' (t), pasiekė per laiką t , Kai be galo Δt DS įsivaizduojama kelias skiriasi nuo faktinės Δs begalybės turintys aukštesnio lygmens atžvilgiu Δt. Jei tuo laiko momentu t greitis nėra lygus nuliui, apytikslę vertę DS suteikia mažą šališkumo tašką.

geometrinis aiškinimas

Leisti linija L yra y = f (x) grafikas. Tada Δ x = MQ, Δu = QM "(žr. Pav žemiau). Liestinė MN pertraukos Δu perpjauti į dvi dalis, Qn ir NM ". Pirmasis ir Δh yra proporcingas QN = MQ ∙ tg (kampas QMN) = Δh F '(x), t. El QN yra DY skirtumas.

Antroji dalis skirtumo Δu NM'daet ─ dy, kai Δh → 0 NM ilgis "mažėja dar greičiau nei argumentu, prieaugio, ty ji turi mažumo didesnis nei Δh tvarką. Šiuo atveju, jei F '(x) ≠ 0 (ne-lygiagrečiai liestinės OX) segmentų QM'i QN lygiaverčių; kitaip tariant NM "greitai mažėja (iš mažumo PTS didesnis tvarka) nei kad bendras prieaugį Δu = QM". Tai yra akivaizdu, paveiksle (artėja segmentas M'k M NM'sostavlyaet visi mažesnis procentas QM 'segmento).

Taigi, grafiškai diferencialinių savavališkai funkcija yra lygi iš liestinės ordinačių prieaugio.

Darinys ir skirtumas

Faktorius veikia pirmosios kadencijos išraiška prieaugį funkcija yra lygi jo išvestinės f "(X) vertės. Tokiu būdu, taip santykis - DY = f '(x) Δh arba df (x) = f' (x) Δh.

Yra žinoma, kad nepriklausomos argumentas prieaugis yra lygi jo diferencinės Δh = dx. Taigi, mes galime rašyti: F '(x) dx = dy.

Rasti (kartais sakoma, kad "sprendimas") skirtumai yra atliekamas pagal tas pačias taisykles kaip ir išvestinėms finansinėms priemonėms. Daugelis jų sąrašas pateiktas žemiau.

Kas yra universalesnė: argumento ar jos skirtumo prieaugis

Čia jis yra būtina atlikti tam tikrus paaiškinimus. Atstovavimas vertė F 'svarstant x kaip argumentą (X) skirtumas Δh įmanoma. Tačiau ši funkcija gali būti sudėtinga, kur x gali būti argumentas t funkcija. Tada skirtumo išraiška F '(x) Δh atstovavimas, kaip taisyklė, yra neįmanoma; išskyrus tiesinės priklausomybės X = esant + B atveju.

Kaip formulę f '(x) dx = DY, tada nepriklausomos argumentas x atveju (tada DX = Δh) atsižvelgiant į parametrų priklausomybė nuo x T atveju, tai yra skirtumas.

Pavyzdžiui, pasakymas 2 x Δh yra y = x ² jo diferencinės kai x yra argumentas. dabar, x = t ² ir mes manome, t argumentą. Tada Y = x ² = t ^4.

Tai po (T + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Taigi Δh = 2tΔt + Δt ^2. Taigi: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Ši sąvoka nėra proporcingas Δt, todėl dabar 2xΔh Netiksli diferencialinių. Jis gali būti rasta iš lygties y = x ² = t ^4. Jis yra lygus DY = 4t ³ Δt.

Jeigu mes priimsime išraiška 2xdx, tai yra skirtumas Y = X ² už vieno argumento t. Iš tiesų, kai x = t ² gauti DX = 2tΔt.

Taip 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. fiksuojama dviejų skirtingų kintamųjų ekspresijos skirtumai sutampa.

Keitimas žingsniais skirtumus

Jeigu F '(x) ≠ 0, tada Δu ir DY ekvivalentas (kai Δh → 0); jeigu F "(x) = 0 (prasme ir dy = 0), jos nėra lygiavertės.

Pavyzdžiui, jei y = x ^2, tada Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ir dy = 2xΔh. Jei x = 3, tada mes turime Δu = 6Δh + Δh ² ir dy = 6Δh, kurios yra lygiavertės dėl Δh ² → 0, kai x = 0 vertė Δu = Δh ² ir DY = 0, nėra lygiavertės.

Šis faktas, kartu su paprasta struktūros skirtumo (m. E. Linijinė atžvilgiu Δh), yra dažnai naudojami skaičiuojant apytikriai, remiantis prielaida, kad Δu ≈ dy smulkaus Δh. Rasti skirtumas funkcija paprastai yra lengviau, nei apskaičiuoti tikslią vertę prieaugio.

Pavyzdžiui, turime metalinį kubą krašto x = 10.00 cm. Dėl šildymo kraštą prailgino dėl Δh = 0,001 cm. Kaip padidėjęs kubo V? Rasta V = x ^2, taip, kad dv = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ vasario ¹⁰ 0/01 = 3 (cm ^3). Padidėjęs ΔV ekvivalentas skirtumas DV, kad ΔV = 3 cm ^3. Visas skaičiavimas duos ΔV = 10,01 ─ ³ 10 ³ = 3.003001. Bet visų skaitmenų, išskyrus pirmas nepatikima rezultatas; Todėl ji vis dar reikia apvalinti iki 3 cm ^3.

Akivaizdu, kad šis metodas yra naudingas tik tada, jei tai yra įmanoma apskaičiuoti vertę suteikiama pasitelkiant klaidos.

Skirtumas funkcija: pavyzdžiai

Pabandykime rasti funkcijos y = x ^{3 diferencialą,} rasti išvestinę. Leiskite mums suteikti argumentas prieaugiui Δu ir apibrėžti.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Čia koeficientas A = 3x ² nepriklauso nuo Δh, kad pirmasis terminas yra proporcingas Δh, kitas narys 3xΔh Δh ² + ³ kai Δh → 0 mažėja greičiau nei argumentu prieaugio. Todėl, iš 3x ² Δh narys yra iš y = x ^{3 skirtumas:}

DY = 3x ² Δh = 3x ² DX arba d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Kur d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy Mes dabar rasti funkciją Y = 1 / x iki darinys. Po to d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. Todėl DY = ─ Δh / x ^2.

Skirtumai pagrindiniai algebrinių funkcijų yra pateikti žemiau.

Apytikslis skaičiavimai, naudojant diferencialą

Įvertinti funkcija f (x) ir jos išvestinė f '(x), kai x = a yra dažnai sunku, bet padaryti tą patį į x = a šalia nėra lengva. Tada ateiti į apytikslę išraišką pagalbos

f (a + Δh) ≈ f '(a) Δh + f (a).

Tai suteikia apytikslę vertę funkciją mažais žingsneliais per savo diferencinę Δh f "(A) Δh.

Todėl, ši formulė suteikia apytikslę išraiška pabaigoje taško kurių ilgis Δh dalį kaip jo vertės suma tuo pradinio taško dalies (x = a) ir į to paties pradinio taško skirtumo funkcija. Tikslumas nustatant funkcijos reikšmes metodą apačioje iliustruoja piešinys.

Tačiau žinoma ir tikslų išraiška už funkcija x = a + Δh vertės, kurią formulė baigtinių žingsniais (arba, alternatyviai, LAGRANGE formulė)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a),

kur taškas x = a + ξ yra intervale nuo x = a į x = a + Δh, nors jos tiksli pozicija yra nežinomas. Tiksli formulė leidžia įvertinti apytikslę formulę klaidą. Jei mes įdėti į Lagrange formule ξ = Δh / 2, nors ji nustoja būti tikslūs, bet suteikia, kaip taisyklė, daug geriau požiūrio nei originalaus raiškos požiūriu skirtumo.

Vertinimo formulės klaida taikant diferencijuotą

Matavimo prietaisai , iš esmės netikslūs, ir atnešti į matavimo duomenis, atitinkančius klaidą. Jie pasižymi apriboti absoliučią klaidą, arba, trumpai tariant, riba klaida - teigiamas, aiškiai viršija absoliučia verte (arba ne smulkiau lygi jai) klaidą. Apriboti santykinį klaidą vadinamas Koeficientas, gaunamas dalijant jį absoliučiosios vertės išmatuotos vertės.

Tegul tiksli formulė Y = f (x) funkcija naudojama vychislyaeniya y, bet X reikšmė yra matavimo rezultatas, ir todėl duoda y klaidą. Tada rasti ribojantį absoliuti klaidos │Δu│funktsii y, pagal formulę

│Δu│≈│dy│ = │ F '(x) ││Δh│,

kur │Δh│yavlyaetsya ribinė paklaida argumentas. │Δu│ kiekis turi būti suapvalinti į viršų, kaip Pati netikslūs skaičiavimai yra prieaugio dėl diferencinio skaičiavimo keitimas.