Linijinio algebrinių lygčių sistema. Homogeninės sistemos linijinių algebrinių lygčių

Mokykloje, kiekvienas iš mūsų mokėsi lygtį ir, žinoma, iš lygčių sistemą. Tačiau ne daug žmonių žino, kad yra keletas būdų, kaip jas išspręsti. Šiandien mes matome, būtent visų metodus sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių, kurios sudaro daugiau nei dviejų lygčių sistemą.

istorija

Šiandien mes žinome, kad sprendžiant lygtis ir jų sistemas menas kilęs iš senovės Babilono ir Egipto. Tačiau lygybė jų pažįstamas forma pasirodė mums po lygybės ženklo "=", kuris buvo pristatytas 1556 Anglijos matematikas įrašo atsiradimo. Beje, šis simbolis buvo pasirinktas dėl priežasties: tai reiškia, dviejų lygiagrečių lygias segmentus. Iš tiesų, geriausias pavyzdys lygybės nėra sugalvoti.

Šiuolaikinės raidėmis įkūrėjas ir simboliai nežinoma kiek, Prancūzijos matematikas Fransua Viet. Tačiau, jo paskirtis labai skiriasi nuo šiandien. Pavyzdžiui, iš nežinomų skaičių kvadratas jis paskirtas raide Q (LAT "quadratus".) Ir Cube - (. LAT "CUBUS") raidė C. Šie simboliai dabar atrodo nepatogiai, tačiau tai buvo labiausiai intuityvus būdas parašyti linijinių algebrinių lygčių sistemą.

Tačiau į vyraujančias jų sprendimo būdus trūkumas buvo tas, kad matematikai manė tik teigiami šaknys. Galbūt tai yra dėl to, kad neigiamas reikšmes neturi jokio praktinio taikymo. Vienaip ar kitaip, bet pirmiausia reikia laikomas neigiamu šaknys prasidėjo po to, kai Italijos matematikos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ir Raphael Bombelli 16 amžiuje. Moderni išvaizda, pagrindinis metodas sprendžiant kvadratinė lygtis (per Diskriminantas) buvo nustatyta tik 17 amžiuje per Dekarto ir Niutono darbus.

Atsižvelgiant į 18-ojo amžiaus Šveicarijos matematiko viduryje Gabriel Cramer rado naują būdą, kaip padaryti, kad sistemų linijų lygtis lengviau sprendimą. Šis metodas vėliau buvo pavadinta jo vardu, ir iki šios dienos, mes jį naudoti. Bet apie Kramer pokalbyje metodas šiek tiek vėliau, bet dabar aptarsime Tiesinės lygtys ir jų sprendimo būdus atskirai nuo sistemos.

tiesinės lygtys

Tiesinės lygtys - paprasčiausias lygtis su kintamojo (-ės). Jie priklauso algebrinis. Tiesinės lygtys parašyta plačiajai forma: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ir _n * x _n = b. Šios formos pateikimo mums reikės į sistemų rengimo ir matricų.

Linijinio algebrinių lygčių sistema

Šio termino apibrėžimas yra toks: iš lygčių, kurios turi bendrų nežinomųjų ir bendro sprendimo rinkinys. Paprastai, mokykloje visi išspręsta sistemą su dviem ar net tris lygtis. Tačiau yra sistemos su keturiais ar daugiau komponentų. Pažiūrėkime, pirmasis, kaip rašyti juos taip, kad vėliau jis buvo patogu išspręsti. Pirma, iš linijinių algebrinių lygčių sistema atrodys geriau, jei visi kintamieji yra parašyta kaip x su atitinkamu indeksu: 1,2,3 ir pan. Antra, tai turėtų būti visas lygtis kanoninės formos: A ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ir _n * x _n = b.

Po visų šių veiksmų, mes galime pradėti papasakoti kaip rasti Tiesinių lygčių sistemos sprendimas. Labai daug, kad bus naudinga matricos.

matrica

Matrica - lentelė, kurią sudaro eilučių ir stulpelių, ir jos elementai yra jų sankirtoje. Tai gali būti arba konkrečią vertę arba kintamąjį. Daugeliu atvejų, paskirti elementus, kurie yra išdėstyti po Apatiniai indeksai (pvz, ₁₁ arba ₂₃ duobutėje). Pirmasis rodiklis parodo, numerį eilutės, o antrasis - stulpelį. Virš matricos, kaip nurodyta pirmiau, ir bet kurios kitos matematinės elementas gali atlikti įvairias operacijas. Taigi, jūs galite:

1) Atimti ir pridėti tą patį dydį lentelėje.

2) Padauginkite matrica bet kokį skaičių arba vektorių.

3) Perkelti: transformuoti matricos eilučių stulpelių ir stulpelių - į eilutę.

4) daugintis matrica, jei eilučių skaičius yra lygus į vieną iš jų skiriasi stulpelių skaičių.

Išsamiai aptarti visų šių metodų, nes jie yra naudingi mums ateityje. Atimtis ir papildymas matricų yra labai paprasta. Nes mes imtis tokio paties dydžio matricą, kiekvienas iš vieno stalo elementas yra susijęs su kiekvieno kito elemento. Taigi, mes pridėti (atimti) du iš šių elementų (tai yra svarbu, kad jie stovi ant tos pačios žemės jų matricų). Padaugintas iš matricos, arba vektoriaus skaičius tiesiog daugintis kiekvieną matricos elementas tos numerį (arba vektoriaus). Perkėlimas į nacionalinę teisę - labai įdomus procesas. Labai įdomus, kartais jį pamatyti realiame gyvenime, pavyzdžiui, keičiant tabletę arba telefonu orientaciją. Piktogramos darbalaukyje yra matrica, ir su padėties kaita, jis perkėlė ir tampa platesnis, bet mažėja aukščio.

Panagrinėkime daugiau procesą, pavyzdžiui, matricos daugyba. Nors jis mums pasakė, ir tai nėra naudinga, tačiau reikia žinoti, kad vis dar yra naudinga. Padauginkite dvi matricos gali būti tik su sąlyga, kad stulpelių vieno stalo numeris yra lygi kitų eilučių skaičių. Dabar imtis vienas matrica linijų elementai ir kitų elementų atitinkamame stulpelyje. Rozmnożę viena kitai ir tada suma (t.y., pavyzdžiui, iš elementų, ₁₁ ir ₁₂ ir ne ₁₂ b ir ₂₂ b produktas bus lygus: a * b _{11 12} + ₁₂ * b ir _22). Tokiu būdu, vieno punkto lentelės, ir metodas, panašus į jį dar labiau užpildyti.

Dabar mes galime pradėti svarstyti, kaip spręsti Tiesinių lygčių sistemos.

Gauso

Ši tema pradėjo vykti mokykloje. Mes labai gerai žinome, kad "sistema iš dviejų tiesinių lygčių" sąvoką ir žinoti, kaip jas išspręsti. Bet kas, jei lygtis skaičius yra didesnis nei dviejų? Tai padės mums Gauso metodas.

Žinoma, šis metodas yra patogus naudoti, jei jūs padarote sistemos matrica. Bet jūs negalite konvertuoti jį ir priima sprendimą dėl jo paties.

Taigi, kaip išspręsti jį iš tiesinių lygčių Gauss sistemą? Beje, nors šį metodą ir pavadinta jo vardu, bet atrado jį senovėje. Gauso turi operacijas, atliekamas su lygtis, galiausiai sukelti visuma į ešelonas forma. Tai reiškia, kad jums reikia iš viršaus į apačią (jei teisingai vietą) nuo pirmos iki paskutinės lygties ištirpo vieną nežinomas. Kitaip tariant, mes turime įsitikinti, kad mes turime, tarkim, tris lygtis: pirmas - tris nežinomųjų, antroje - du trečioje - vieną. Tada nuo paskutinio lygtį, randame pirmąjį nežinoma, pakeisti savo vertę antrą ar pirmą lygtį, ir toliau rasti likusius du kintamuosius.

Kramerio taisyklė

Dėl šio metodo vystymosi labai svarbu įvaldyti to įgūdžius, atimties matricų, taip pat poreikį galėti rasti veiksnius. Taigi, jei esate nepatogu tai daryti visas arba nežinome, kaip tai yra būtina mokytis ir būti apmokyti.

Kas yra šio metodo esmė, ir kaip tai padaryti, gauti Tiesinių lygčių Cramer sistema? Tai labai paprasta. Mums reikia statyti skaičių matricos (beveik visada) A linijinių algebrinių lygčių sistemos koeficientus. Norėdami tai padaryti, tiesiog paimti iš nežinomo numerio, ir mes suorganizuoti lentelę tokia tvarka, kokia jie yra įrašyti į sistemą. Jei prieš numeris yra ženklas "-", tada mes rašome neigiamą koeficientą. Taigi, mes padarėme pirmąjį matrica nuo nežinomųjų koeficientų, neįskaitant skaičius po lygybės ženklo (žinoma, kad lygtis turi būti sumažintas iki kanoninės formos, kai teisė yra tik skaičius, o kairėje - visos nežinomųjų su koeficientais). Tada jums reikia padaryti keletą matricas - po vieną kiekvienai kintamojo. Šiam tikslui, pirmoje matricoje yra pakeisti vienu skiltyje kiekvienas stulpelis numerius su koeficientais, po lygybės ženklo. Taigi mes gauname kelis matricas ir tada rasti savo lemiančius veiksnius.

Po radome apibūdinimų, tai mažas. Rasta pradinį matricą, ir yra keletas gautų matricos, kurios atitinka skirtingų kintamųjų. Norėdami gauti sistemos sprendimą, mes padalinti gautą stalo determinantą pirminėje veiksnys lentelės. Gautas skaičius yra vieno kintamojo vertė. Be to, mes randame visas nežinomųjų.

kiti metodai

Yra keletas būdų, siekiant gauti iš Tiesinių lygčių sistemos sprendimas. Pavyzdžiui, vadinamasis Gauso-Jordanija metodas, kuris naudojamas rasti sprendimus kvadratin lygtis sistemos, taip pat yra susijęs su matricų naudojimo. Taip pat yra neva metodas sprendžiant tiesinių algebrinių lygčių sistemą. Jis lengvai prisitaiko prie visų kompiuterių ir yra naudojamas skaičiuojant.

Sudėtingesni atvejai

Sudėtingumas paprastai įvyksta, jei lygtis skaičius yra mažesnis nei kintamųjų skaičius. Tada mes galime tikrai pasakyti, kad arba sistema yra nesuderinama (ty neturi šaknų), arba jos sprendimų skaičius linkęs į begalybę. Jei mes turime antrąjį atvejį - tai būtina parašyti bendrą sprendimą apie tiesinių lygčių sistemos. Ji apims bent vieną kintamąjį.

išvada

Čia mes einame iki galo. Apibendrinant: mes turime suprasti, ką sistema matrica, išmoko rasti bendrą sprendimą iš tiesinių lygčių sistemos. Be to, mūsų nuomone, kitų variantų. Supratome, kaip išspręsti Tiesinių lygčių sistemos: Gauso panaikinimo ir Cramer taisyklė. Mes kalbėjome apie sudėtingais atvejais ir kitų būdų rasti sprendimus.

Tiesą sakant, šis klausimas yra daug platesnis, ir, jei norite, kad geriau jį suprasti, mes rekomenduojame jums perskaityti daugiau specializuotos literatūros.