Maclaurin ir skaidymas kai kurios funkcijos

Studijavimas aukstoji matematika turėtų žinoti, kad maitinimo serijos į konvergencijos iš mūsų skaičiaus intervale suma, yra nuolatinis ir neribotą skaičių kartų diferencijuota funkcija. Kyla klausimas: ar galima teigti, kad atsižvelgiant savavališkai funkcija f (x) - yra maitinimo serijos suma? Tai yra, kokiomis sąlygomis F-IJOS f (x) gali būti atstovaujamos maitinimo serijos? Šio klausimo svarbą yra tai, kad galima pakeisti maždaug £ teologijos f (x) yra kelias pirmąsias kalbant apie maitinimo serijos suma, tai yra daugianario. Toks pakeitimas funkcija yra gana paprasta išraiška - daugianario - patogu ir spręsti tam tikras problemas matematine analize, ty sprendžiant integralas apskaičiuojant diferencialines lygtis , ir tt ...

Ji yra įrodyta, kad tam tikrą f-ii f (x), besiskirianti tuo, kad (n + 1) -ojo tam dariniai gali būti apskaičiuota, įskaitant vėliau į apylinkės (alfa - R; x ₀ + R) taško X = alfa tikroji formulė yra:

Ši formulė yra pavadintas garsaus mokslininko Brooke Taylor. A numerį, kuris yra kilęs iš ankstesnių punktų, yra vadinamas Maclaurin serijos:

Taisyklė, kuri leidžia gaminti plėtrą į Maclaurin serijos:

1. Nustatyti darinių pirmojoje, antrojoje, trečiojoje, ... tvarka.
2. Apskaičiuoti, kiek yra dariniai, kai x = 0.
3. Įrašų Maclaurin serijos šią funkciją, ir tada nustatyti konvergencijos intervalą.
4. Nustatyti intervalą (-R; R), kur likusios dalies, kurio formulė Maclaurin

_Rn (x) -> 0 N -> begalybė. Jei toks yra, tai funkcija f (x) turi būti lygi su Maclaurin serijos suma.

Apsvarstykite dabar Maclaurin seriją atskirų funkcijų.

1. Taigi, pirmas, būti f (x) = e ^x. Žinoma, kad jų savybes, f-Ia yra kilęs iš užsakymų įvairovę, ir F ^{(K) (x)} = e ^x, kur k yra lygus visų natūralių skaičių. Pakaitalas x = 0. Mes gauti f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Remiantis tuo, kas išdėstyta, nuo e ^x skaičius Tai bus taip:

2. Maclaurin serijos funkcijos f (x) = x sin. Iškart nurodyti, kad F-cijos visiems nežinomų išvestinių turės, be F ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{F' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * K / 2), kur k yra lygus bet teigiamas sveikasis skaičius. Tai yra, todėl paprastų skaičiavimų, galime daryti išvadą, kad už F serija (x) = sin x bus panašus į šį:

3. Dabar aptarkime IJU F-f (x) = cos x. Ji yra nežinomas visų savavališkai tvarkos dariniai, ir ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2, ... Vėlgi, tai padariusi keletą skaičiavimus, matome, kad už F serija (x) = cos x atrodys taip:

Taigi, mes išvardyti svarbiausius bruožus, kurie gali būti išplėsta į Maclaurin serijos, bet jie papildys Teiloro eilutė kai kurių funkcijų. Dabar mes jų sąrašą, taip pat. Taip pat reikėtų pažymėti, kad Taylor serija ir Maclaurin serija yra svarbi dalis dirbtuvių serijos sprendimų aukštosios matematikos. Taigi, Teiloro eilutė.

1. Pirmasis yra F-II f (x) = LN (1 + x) serija. Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, tai mes f (x) = ln (1 + x) gali būti sulankstytas numerį, naudojant bendrą formą Maclaurin serijos. bet šią funkciją Maclaurin galima gauti daug lengviau. Integruojant geometrinę progresiją, mes gauti numerį f (x) = LN (1 + x) mėginio:

2. Ir antra, kuri bus galutinis šiame straipsnyje, bus serijos f (x) = x arctg. Priklausantiems intervale x [-1; 1] galioja skilimas:

Tai viskas. Šiame straipsnyje aš apklaustųjų dažniausiai naudojamas Teiloro eilutė ir Maclaurin seriją aukštosios matematikos, ypač ekonomikos ir technikos kolegijose.