Tiesinė ir homogeniškas diferencialinė lygtis pirmojo tvarka. pavyzdžiai sprendimų

Manau, turėtume pradėti su šlovingą matematinės priemonė kaip diferencialinių lygčių istorijos. Kaip ir visi diferencialas ir całkowego, šios lygtys buvo išrastas Newton pabaigoje 17 amžiuje. Jis tikėjo, kad tai buvo jo atradimas taip svarbu, kad net užkoduota žinutė, kuri šiandien gali būti išverstas taip: ". Visos aprašyta diferencialinių lygčių gamtos dėsnius" Ji gali atrodyti perdėta, bet tai tiesa. Bet fizikos, chemijos, biologijos teisė, gali būti apibūdinta šių lygčių.

Milžiniškas indėlis į plėtros ir kūrimo iš diferencialinių lygčių teorijos turi matematikos Euler ir Lagrange. Jau 18 amžiuje jie atrado ir sukūrė tai, kas dabar mokosi vyresniųjų universitetų kursus.

Naujas etapas į diferencialinių lygčių studijos prasidėjo dėka Anri Puankare. Jis sukūrė "kokybišką teoriją diferencialinių lygčių", kuris, derinamas su funkcijų kompleksinių kintamųjų teorija žymiai prisidėjo prie topologijos pamatai - erdvės ir jos savybių mokslas.

Kas yra diferencialinės lygtys?

Daugelis žmonių bijo frazės "Diferencialinė lygtis". Tačiau šiame straipsnyje mes bus išsamiai išdėstytos šio labai naudingo matematinės įrankį, kuris iš tikrųjų nėra taip sudėtinga, kaip atrodo iš pavadinimo esmę. Siekiant pradėti kalbėti apie Diferencialinė lygtis pirmos eilės, pirma turite susipažinti su pagrindinėmis sąvokomis, kurios yra iš esmės susijusios su šio apibrėžimo. Ir mes pradėsime su diferencialu.

diferencialas

Daugelis žmonių žino šį terminą, nes vidurinę mokyklą. Tačiau vis dar gyvena su juo išsamiai. Įsivaizduokite, kad funkcijos grafiką. Mes gali padidinti jį iki tokio laipsnio, kad bet koks savo segmente tampa tiesią liniją. Tai paimsiu du taškus, kurie yra be galo arti viena kitos. Skirtumas tarp jų koordinačių (X arba Y) yra be galo. Ir tai vadinama skirtumas ir simbolių paskirti dy (besiskiriantį Y) ir DX (rentgeno diferencialas). Svarbu suprasti, kad skirtumas nėra galutinis vertė, ir tai yra prasmė ir pagrindinė funkcija.

Ir dabar jūs turite atsižvelgti į šiuos elementus, kurie mums reikės paaiškinti diferencialinė lygtis koncepciją. Ji - darinys.

darinys

Visi mūsų turi girdėjote mokykloje ir šios sąvokos. Jie sako, kad darinys - yra augimo ar mažėjimo funkcijos rodiklis. Tačiau šis apibrėžimas tampa paini. Leiskite mums pamėginti paaiškinti išvestinius kalbant apie diferencialams. Grįžkime prie begalybės intervalo funkcija su dviejų taškų, esančių ne mažesniu atstumu vienas nuo kito. Tačiau net ir po šio atstumo funkcija yra laikas pakeisti tam tikrą vertę. Ir apibūdinti tą kaitą ir sugalvoti su dariniu, kad priešingu atveju būtų parašytas kaip diferencialų santykis: f (x) '= df / dx.

Dabar būtina atsižvelgti į pagrindines savybes darinys. Yra tik trys:

1. Darinys suma arba skirtumas gali būti atstovaujama kaip sumos ar skirtumo Darinių: (a + b) "= a + b" ", ir (AB) '= a'-B".
2. Antroji savybė yra susijusi su dauginimosi. Išvestinių darbų - yra iš vienos funkcija veikia į kitą darinio suma: (a * b) '= nurodyti "* b + a * b".
3. Tas skirtumas darinys gali būti parašyta, kaip šią lygtį: (a / b) '= (A' * ba * b ") / b ^2.

Visos šios savybės praverčia ieškant sprendimų Diferencialinė lygtis pirmojo tvarka.

Be to, yra daliniai dariniai. Tarkime, mes turime apie Z, kuris priklauso nuo kintamųjų x ir y funkcija. Norėdami apskaičiuoti dalinę išvestinę šią funkciją, pavyzdžiui, x, turime imtis kintamojo Y pastovus ir lengva atskirti.

integralas

Kita svarbi sąvoka - neatsiejama. Iš tikrųjų tai yra darinio priešais. Integralai yra keletas rūšių, bet paprasčiausi sprendimų Diferencialinė lygtis, turime pačias smulkiausias nekonkrečias integralas.

Taigi, kas yra neatsiejama? Tarkime, kad mes turime tam tikrą ryšį F x. Mes iš jo integralas ir gauti funkcija F (x) (ji dažnai vadinama primityvus), kuris yra originalus funkcija darinys. Todėl F (x) = f (x). Tai taip pat reiškia, kad išvestinės neatsiejama yra lygus originalo funkcija.

Sprendžiant diferencialines lygtis tai yra labai svarbu suprasti prasmę ir funkciją neatsiejama, nes labai dažnai tenka juos rasti sprendimus.

Lygtis yra skirtingi, priklausomai nuo jų pobūdžio. Kitame skyriuje mes pažvelgti tipų pirmos eilės diferencialinių lygčių, tada išmokti jas išspręsti.

Klasės diferencialinių lygčių

"Diffury", padalytas iš išvestinių finansinių priemonių, susijusių su jų tvarka. Taigi yra pirma, antra, trečia ar daugiau tvarkos. Jie taip pat gali būti suskirstytas į keletą klasių: paprastų ir dalinių.

Šiame straipsnyje mes bus apsvarstyti paprastųjų Diferencialinė lygtis pirmojo tvarka. Pavyzdžiai ir sprendimai aptarsime tolesniuose skyriuose. Mes manome, kad tik BLSK, nes ji yra labiausiai paplitusių rūšių lygtis. Įprasta padalintas į porūšis: su atskiriamų kintamųjų, vientisų ir įvairialyčių. Kitas išmoksite, kaip jie skiriasi vienas nuo kito, ir sužinoti, kaip jas išspręsti.

Be to, šios lygtys gali būti derinami taip, kad po to, kai mes gauname Diferencialinė lygtis pirmojo, kad sistema. Tokios sistemos, mes taip pat pažvelgti ir sužinoti, kaip išspręsti.

Kodėl mes svarstome tik pirmąjį užsakymą? Kadangi tai yra būtina pradėti su paprasta ir aprašyti visus su diferencialinių lygčių, viename straipsnyje neįmanoma.

Lygtis su atskiriamų kintamųjų

Tai galbūt labiausiai paprastų pirmieji eilės diferencialinės lygtys. Tai yra pavyzdžiai, kurie gali būti parašytas kaip: y '= f (x) * F (y). Išspręsti šią lygtį turime pateikiamosios formulė darinys kaip iš skirtumo santykis: y "= dy / dx. Su juo gauname lygtį: Dy / Dx = f (x) * f (Y). Dabar mes galime pasukti į sprendžiant standartinius pavyzdžius metodą: atskirti kintamuosius dalimis, ty pirmyn visą kintamojo Y į dalis, kur yra DY, o taip pat, kad kintamojo x ... Mes gauti formos lygtį: DY / f (Y) = f (x) DX, kuris yra pasiekiamas, atsižvelgiant į tai, dviejų dalių Integralų. Nepamirškite apie konstanta, kad jūs norite įdėti po integracijos.

Bet kokio "diffura" tirpalas - yra X funkcija, Y (mūsų atveju), arba, jei yra skaitinė sąlyga, atsakymas yra skaičius. Panagrinėkime konkretų pavyzdį visą kursą sprendimo:

Y '= 2y * sin (x)

Perduoti kintamuosius skirtingomis kryptimis:

DY / Y = 2 * sin (x) DX

Dabar imtis integralas. Visi jie gali rasti specialioje lentelėje integralai. Ir gauname:

LN (Y) = -2 * cos (x) + C

Jei reikia, galime išreikšti "y", kaip "X" funkcija. Dabar mes galime pasakyti, kad mūsų diferencialinė lygtis išspręsta, jeigu nenurodyta būklę. Gali būti nurodyta sąlyga, pavyzdžiui, Y (n / 2) = e. Tada mes tiesiog pakeisti šių kintamųjų sprendimo vertę ir rasti pastovios vertę. Mūsų pavyzdyje, tai yra 1.

Vientisos pirmos eilės diferencialinės lygtys

Dabar su daugiau sudėtingų dalių. Vienalytės pirmieji eilės diferencialinės lygtis gali būti parašyta bendro rūšies kaip: y '= z (x, y). Reikėtų pažymėti, kad teisė funkcija dviejų kintamųjų yra vienodas, ir ji negali būti padalyta į dvi dalis, priklausomai nuo: z x ir z y. Patikrinkite, ar lygtis yra homogeninė ar ne, yra gana paprastas: mes darome pakeitimo X = k * x ir y = k * y. Dabar mes iškirpti visą k. Jei šie laiškai nukrito, tada lygtis vienalytis ir gali saugiai pereiti prie jos sprendimo. Žvelgiant į ateitį, mes sakome: iš šių pavyzdžių sprendimo principas taip pat yra labai paprasta.

Turime padaryti rungtynių: y = t (x) * x, kur t - funkcija, kuri taip pat priklauso nuo x. Tada mes galime išreikšti darinį: Y '= t' (x) * x + t. Pakeisti visa tai į mūsų pradinę lygtį ir ją supaprastinti, mes turime kintamųjų t atskyrimo Kadangi X pavyzdžiu. Ją išspręsti ir gauti iš t (X) priklausomybę. Kai mes turime ją, tiesiog pakeisti mūsų ankstesnę pakeitimo Y = T (x) * x. Tada gauname y priklausomybę nuo x.

Kad būtų aiškiau, mes suprantame pavyzdį: X * Y '= yx * e y / x.

Tikrinant visų mažėja pakeisti. Taigi, lygtis yra tikrai vienodos. Dabar, kad kitą rungtynių, mes kalbėjome apie: Y = T (X) * x ir y '= t "(X) * x + T (X). Po to, kai supaprastinti šią lygtį: t "(x) * x = -e t. Mes nuspręsite gauti pavyzdį su atskirtais kintamaisiais ir ^{gauname: e -t = ln (C *} x). Mes tiesiog reikia pakeisti t Y / X (nes jei y = t * x, tada t = y / x), ir gauname ^{atsakymą: El -y / X = ln (} x * C temperatūroje).

Tiesinė diferencialinė lygtis pirmojo, kad

Atėjo laikas apsvarstyti kitą plati tema. Mes atrodys nevienalyčių pirmos eilės diferencialinės lygtys. Kaip jie skiriasi nuo ankstesnių dviejų? Leiskite face it. Tiesinės pirmos eilės diferencialinės lygtys bendrojo forma lygtys gali būti taip parašyta: y "+ G (x) * Y = Z (X). Ji turėtų būti paaiškinta, kad Z (x) ir g (x) gali būti pastovus vertės.

Štai pavyzdys: Y '- Y * x = x ^2.

Yra du būdai, kaip išspręsti, ir mes užsisakyti Panagrinėkime juos abu. Pirmasis - variacijos savavališkų konstantų metodas.

Norėdami išspręsti šiuo būdu lygtį, būtina prilyginti pirmąjį dešinėje pusėje iki nulio, ir išspręsti gautą lygtį, kuri po to, dalių perdavimo tampa:

Y '= Y * x;

DY / DX = Y * x;

DY / y = xdx;

LN | Y | = x ^2/2 "+ C;

Y = e ^{X2 / 2} * ^C = Y _C1 * e ^{X2 / 2.}

Dabar ji yra būtina pakeisti konstanta _C1 ant funkcija v (x), o mes rasti.

Y = prieš * e ^{X2 / 2.}

Lygiosios pakeitimo išvestinę:

^{Y '= prieš "* e X2} / ^2-x * prieš * e ^{X2 / 2.}

Ir pakeisti šias išraiškas į originalią lygtį:

prieš "* e ^{X2 / 2} - x * prieš * e ^{X2 / 2} + x * prieš * e ^{X2 / 2} = x ^2.

Jūs galite pamatyti, kad kairėje pusėje dvi kadencijas yra sumažintas. Jei kai pavyzdys, kad neatsitiko, tada jūs turite padaryti ką nors blogo. Mes ir toliau:

prieš "* e ^{X2 / 2} = x ^2.

Dabar mes išspręsti įprastą formulę, kurioje norite atskirti kintamuosius:

DV / DX = x ^{2 /} E ^X2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- X2 / 2} DX.

Norėdami pašalinti neatsiejama, turime taikyti integraciją dalių čia. Tačiau tai nėra šio straipsnio tema. Jei jus domina, galite sužinoti apie savo atlikti tokius veiksmus. Tai nėra sunku, ir su pakankamai įgūdžių ir rūpestingumo nėra laiko.

Nuoroda į antrąjį metodo pagrindimas nevienalyčiuose lygtis tirpalas: Bernulio metodą. Kas požiūris yra greičiau ir lengviau - tai iki jums.

Taigi, sprendžiant šį metodą, mes turime padaryti rungtynių: y = k * n. Čia k ir n - Kai kurios funkcijos, priklausomai nuo x. Tada darinys atrodys: y '= K' * n + k * n ". Pakaitiniai du keitimus į lygtį:

K '* n + k * N ' + x * k * N = x ^2.

Grupė iki:

K '* n + k * ( n "+ x * n) = x ^2.

Dabar būtina prilyginti nuliui, tai skliausteliuose. Dabar, jei jūs derinti du atsiradusius lygtis, gauname pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistema, kurią reikia išspręsti:

n "+ x * n = 0;

K '* n = x ^2.

Pirmasis lygybė nuspręsti, kaip įprasta lygtį. Norėdami tai padaryti, jums reikia atskirti kintamuosius:

DN / DX = x * prieš;

DN / n = xdx.

Imame vientisas ir mes gauti: ln (N) = X ^2/2. Tada, jei mes išreiškiame N:

n = e ^{X2 / 2.}

Dabar pakeisti gautą lygtį į antrąją lygtį:

K '* e ^{X2 / 2} = x ^2.

Ir transformavimo, gauname tą patį lygtį kaip pirmąjį metodą:

DK = x ^{2 /} E ^X2 / ^2.

Mes taip pat nebus aptarti tolesnių veiksmų. Jis sakė, kad iš pradžių pirmos eilės diferencialinių lygčių sprendimas sukelia nemažų sunkumų. Tačiau giliau panardinimo į temą pradeda geriau ir geriau.

Kur yra diferencialinės lygtys?

Labai aktyvūs diferencialinės lygtys naudojami fizikos, nes beveik visi pagrindiniai įstatymai surašyti diferencinę forma, ir tie formules, kad mes matome - sprendimą į šias lygtis. Chemijos, jie naudojami dėl tos pačios priežasties: pagrindiniai įstatymai yra gaunami per juos. Biologijos, diferencialinės lygtys yra naudojami modeliuoti sistemas, tokias kaip plėšrūno elgesį - grobį. Jie taip pat gali būti naudojama siekiant sukurti modelius reprodukcijai, pavyzdžiui, kolonijų mikroorganizmų.

Kaip diferencialinės lygtys padėti gyvenime?

Atsakymas į šį klausimą yra paprastas: nieko. Jei jūs nesate mokslininkas ar inžinierius, tai mažai tikėtina, kad jie bus naudingi. Tačiau ne skauda žinoti, ką diferencialinę lygtį ir ji yra išspręsta už bendrą plėtrą. Ir tada sūnus ar dukra, klausimas "kas Diferencialinė lygtis?" nedėkite jums aklavietę. Na, jei jūs esate mokslininkas ar inžinierius, tuomet jūs žinote, šios temos svarbą bet kurioje mokslo. Bet svarbiausia, kad dabar į klausimą "kaip išspręsti Diferencialinė lygtis pirmos eilės?" Jūs visada galės duoti atsakymą. Sutikite, tai visada malonu, kai jūs suprantate, kad tai, ką žmonės yra net bijo sužinoti.

Pagrindinės problemos tyrimo

Pagrindinė problema, į šią temą supratimas yra blogas įprotis integracijos ir diferenciacijos funkcijų. Jei esate nepatogu tarti dariniai ir integralas, tai turbūt verta daugiau sužinoti, išmokti įvairių metodų integracijos ir diferenciacijos, ir tik tada pereiti prie medžiagos tyrimo, kuris buvo aprašytas straipsnyje.

Kai kurie žmonės yra nustebęs, kad sužinoti, kad DX gali būti perduodamos, kaip ir anksčiau (mokykloje) teigė, kad frakcija DY / DX yra nedalomas. Tada jums reikia skaityti literatūrą su dariniu, ir suprasti, kad tai yra be galo mažų kiekių, kurie gali būti manipuliuojama, sprendžiant lygtis požiūris.

Daugelis žmonių ne iš karto supranta, kad diferencialinių lygčių pirmos eilės sprendimas - tai dažnai funkcija arba neberuschiysya neatsiejama, ir tai iliuzija suteikia jiems daug problemų.

Ką dar gali būti tiriamas, siekiant geriau suprasti?

Tai geriausia pradėti tolesnį pamerktos į diferencinės specializuotų vadovėlių pasaulyje, pavyzdžiui, matematinės analizės studentams ne matematines specialybes. Tada galite pereiti prie labiau specializuotos literatūros.

Jis sakė, kad, be skirtumo, vis dar yra lygtys, todėl jūs visada turite kažką siekti ir ką studijuoti.

išvada

Tikimės, kad perskaičius šį straipsnį jūs turėsite, ką diferencialinės lygtys ir kaip jas išspręsti teisingai idėją.

Bet kuriuo atveju, matematika bet kokiu būdu naudingo mums gyvenime. Ji vystosi logika ir dėmesio, be kurio kiekvienas žmogus, nes be rankų.