Geometrine progresija. PAVYZDYS į sprendimo

Apsvarstykite eilutę.

7 28 112 448 1792 ...

Gana aiškiai rodo, kad bet kurio jos elemento vertė daugiau nei ankstesniais lygiai keturis kartus. Taigi, ši serija yra progresas.

geometrinė progresija vadinamas begalinė skaičių seka,, pagrindinis bruožas yra tai, kad šis numeris yra gaunamas iš viršaus padauginus iš tam tikru tikrą skaičių. Tai yra išreiškiamas apskaičiuojamas pagal formulę.

_{Z 1 = z · q} , kur Z - skaičius pasirinkto elemento.

Atitinkamai, Z ∈ N.

Metu, kai mokykla yra studijavo geometrine progresija - 9 klasės. Pavyzdžiai padės suprasti sąvoką:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 vasario 6 ...

Remiantis šia formule iš vardiklį progresavimo galima rasti taip:

Nei q, arba b _Z negali būti lygus nuliui. Taip pat, kiekvienas iš elementų skaičių serija progresavimo turėtų būti lygi nuliui.

Atitinkamai, matyti, kai kitą skaičių skaičiaus, padauginti pastarųjų q.

Apibrėžti šį progresavimą, turite nurodyti pirmąjį elementą jį ir vardiklį. Po to galima rasti bet kuriuo iš šių narių ir jų kiekio.

rūšis

Priklausomai nuo q ir _1, tai progresavimo yra padalintas į keletą tipų:

• Jei santykiu _1, ir q yra didesnis nei vienas, tada seka - didėja kiekvieną iš eilės elementą geometrine progresija. jos pavyzdžiai yra išsamiau išdėstyti toliau.

Pavyzdys: ₁ = 3, q = 2 - didesnis už vienetą, abu parametrus.

Tada skaičių seka gali būti parašytas kaip:

3 6 12 24 48 ...

• Jei | Q | mažesnis už vieną, ty, jis yra lygiavertis dauginimąsi dalijant, progresavimas su panašiomis sąlygomis - mažėja geometrine progresija. jos pavyzdžiai yra išsamiau išdėstyti toliau.

Pavyzdys: ₁ = 6, q = 1/3 - _A1 yra didesnis už vienetą, q - mažiau.

Tada skaičių seka gali būti parašytas taip:

Birželio 2 d 2/3 ... - bet koks elementas, daugiau elementų po jo, yra 3 kartus.

• Kintamoji. Jei q <0, iš sekos pakaitomis skaičių nuolat nepriklausomai iš _{1 ženklai,} ir bet padidėjimo ar sumažėjimo elementai.

Pavyzdys: ₁ = -3, q = -2 - abu yra mažesnė, negu nulis.

Tada skaičių seka gali būti parašytas kaip:

3, 6, -12, 24, ...

formulė

Patogu naudoti, yra daug geometrinė progresija formulių:

• Formulė Z-oji terminas. Tai leidžia į tam tikrą skaičių elemento skaičiavimą be apskaičiuojant ankstesnius numerius.

Pavyzdys: q = 3, a = ₁ 4. reikalaujama apskaičiuoti pagal ketvirtą elementas progresavimą.

Tirpalas: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Pirmųjų sudedamųjų dalių suma yra, kurių skaičius yra lygus z. Ji leidžia į visus elementus sekos suma skaičiavimą _Z imtinai.

≠ 0, tokiu būdu, q yra ne 1 - (Q 1) Kadangi (1- q) yra į vardiklį, tada.

Pastaba: jeigu q = 1, tada progresavimo būtų atstovaujama iš galo pakartojant skaičių.content.

Suma eksponentiškai pavyzdžiai: a ₁ = 2, q = -2. Apskaičiuoti S _5.

Tirpalas: S = ₅ 22 - skaičiavimo formulė.

• Sumą, jei | Q | <1 ir, kai Z yra linkęs į begalybę.

Pavyzdys: ₁ = _2, q = 0,5. Ieškoti sumą.

Tirpalas: S _z = 2 x = 4

Jei mes galime apskaičiuoti kelių narių vadove sumą, pamatysite, kad jis yra iš tikrųjų įsipareigojo iki keturių.

S _Z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Kai kuriuose viešbučiuose:

• Būdingas nuosavybė. Jei ši sąlyga Ji turi bet kokio z, tada nurodoma skaitinė serijos - geometrinis progresavimo:

_Z ² = _{Z -1} · _{Z + 1}

• Taip pat bet kurio skaičiaus kvadratas yra eksponentiškai priemonėmis to iš kitų dviejų skaičių kvadratų, bet kuriuo eilės, jei jie yra vienodu atstumu nuo elemento.

² _Z = _{Z - t} ² _{+ Z} + _T ^2, kur t - atstumas tarp šių skaičių.

• Elementai skiriasi q kartų.
• Priemonės, kuriomis progresavimo elementų logaritmai taip pat sudaro progresavimą, bet aritmetinį, tai yra, kiekvienas iš jų daugiau nei ankstesnės tikru skaičiumi.

Pavyzdžiai kai kurių klasikinių problemų

Norėdami geriau suprasti, kas yra geometrinė progresija, su sprendimų pavyzdžiais 9 klasės gali padėti.

• Terminai ir sąlygos: a ₁ = 3, ₃ = 48. Paieška Q.

Tirpalas: kiekviena paskesnė elementas daugiau nei ankstesniais q laiko. Būtina išreikšti keletą elementų iš kitų per "vardiklį.

Todėl, ₃ = q ² · A ₁

Kai pakeisti q = 4

• Sąlygos: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Apskaičiuokite S _6.

Sprendimas: Norėdami tai padaryti, pakanka rasti q, pirmasis elementas ir pakaitalą į formulę.

₃ = q · _2, todėl, q = 2

₂ = q · A _1, todėl a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Ieškoti ketvirtą elementą progresavimo.

Sprendimas: jis yra pakankamai išreikšti ketvirtą elementą per pirmą ir per vardiklį.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Taikymo pavyzdys:

• Banko klientas prisidėjo 10.000 rublių sumą, pagal kurią kasmet klientas pagrindinei sumos bus pridėta 6% jai nors. Kiek pinigų yra sąskaitoje po 4 metų?

Sprendimas: Pradinė suma, lygi 10 tūkstančių rublių. Taigi, per metus po to, kad sąskaitos investicijų bus sumą, lygią 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Taigi, į sąskaitą suma net po vienerių metų turės būti išreikštas taip:

(10000 · 1,06) · 10.000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Tai reiškia, kad kiekvienais metais ši suma išaugo iki 1,06 kartų. Taigi, norint rasti sąskaitos numerį, po 4 metų, pakanka rasti ketvirtą elementą progresavimą, kuris yra pateiktas pirmasis elementas lygus 10 tūkstančių, o vardiklis lygus 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Pavyzdžiai problemų į sumą skaičiavimo:

Įvairių problemų naudojant geometrine progresija. Kurio ieškant sumą pavyzdys gali būti nustatytas taip:

A ₁ = 4, q = 2, apskaičiuoti S _5.

Sprendimas: visi būtini duomenys ir skaičiavimo žinoma, tiesiog pakeisti juos į formulę.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Apskaičiuokite iš pirmųjų šešių elementų suma.

sprendimas:

Geom. kiekvieno iš kito didesnis nei ankstesniais q kartų elementas pažanga, tai yra, apskaičiuoti sumą, kurią reikia žinoti elementą A ₁ ir vardiklis q.

₂ · q = ₃

q = 3

Be to, reikia rasti _{1, 2} ir žinant, q.

A ₁ · q = ₂

A ₁ = 2

Ir tada pakanka pakeisti žinomus duomenis į formulę sumai.

S ₆ = 728.